(Credit: Bill Hammack Engineering, University of Illinois)

Domande & Risposte     Di che cosa si occupa oggi chi studia i numeri? La Teoria dei Numeri è uno dei settori "di base" nella ricerca in matematica pura e il suo studio si intreccia con le principali branche della matematica (Geometria Algebrica, Analisi Matematica) e non disdegna l'uso del computer, sia come strumento di "esplorazione", sia per quella parte della teoria (collegata con l'informatica) che studia gli algoritmi e la loro efficienza. Ad esempio è stato un grande successo il recente risultato di Andrew Wiles che ha dimostrato il famoso Ultimo Teorema di Fermat (1994 il primo annuncio, ma la dimostrazione conteneva un errore e la versione corretta è uscita nel 1995).

L'enunciato del Teorema è molto semplice:
 
Non esistono  4  numeri interi non nulli  a,b,c,n  tali che:

aⁿ + bⁿ = cⁿ   con   n > 2

Per n=2, si hanno molti esempi di uguaglianze come quella sopra (che si può pensare come data dal Teorema di Pitagora per un triangolo rettangolo di lati a,b,c), ma la cosa non si estende per n>2.  

Pierre de Fermat enunciò questo teorema nel 1637, scrivendolo sul bordo di un libro e annotando di avere una bella dimostrazione che non poteva riportare per mancanza di spazio.  Non sappiamo come fosse la sua presunta dimostrazione, ma i matematici ne hanno cercata una per più di tre secoli, e la prima (pluripremiata) è stata quella di  Wiles, che è costituita da un lungo articolo basato su sofisticati metodi che utilizzano la Geometria Algebrica.
 

• Ci sono problemi aperti nella teoria dei numeri?

Moltissimi, ed i più famosi riguardano i numeri primi. Forse il più noto è la congettura di Goldbach (1742), che è semplicissima da enunciare, infatti essa afferma:

Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi (anche uguali).

Ad esempio:   4 = 2 + 2;  6 = 3 + 3;  8 = 5 + 3;   14 = 11 + 3 ;   22 =  17 + 5.

Analisi al computer hanno mostrato che la congettura è vera per valori fino a  2 x 10¹⁷,  ma una dimostrazione in generale non esiste.

• Che tipo di attività e studi si fanno oggi in proposito all'Università di Bologna?

Ci sono ad esempio studi e corsi di crittografia (la scienza che studia come cifrare i dati per proteggerli) che fra i metodi usati  prevedono, fra i più efficienti, quelli basati sulla scomposizione di grandi numeri in fattori primi. Invece l'uso dei numeri, la loro storia e i problemi della loro didattica sono trattati in studi e corsi di storia e didattica della matematica.

• Cosa sono i numeri transfiniti?

I numeri transfiniti (la cui prima introduzione è dovuta a Georg Cantor alla fine dell'800) sono i numeri che indicano la "grandezza" di un insieme infinito; si deve infatti a Cantor la scoperta che gli insiemi infiniti non sono tutti "grandi uguali", e che ci sono infiniti più grandi e più piccoli.
Il più piccolo numero transfinito si indica con il simbolo    (che si legge  "aleph zero" ove Aleph è la prima lettera dell'alfabeto ebraico) e corrisponde all'infinità associata, ad esempio, all'insieme dei numeri naturali: {0,1,2,3,...}.  

Alcuni suggerimenti bibliografici

• C.Boyer, Storia della Matematica, Mondadori, Milano (1968) ;
• E.Castelnuovo;  La via della Matematica, I numeri. La Nuova Italia, Firenze (1966);
• B.D'Amore, P.Oliva;  Numeri. Franco Angeli, Milano (1993);
• W.Di Palma:  Abaco e Groma.  Argos, Roma (1993);
• G.Ifrah:  Storia Universale dei Numeri. Mondadori, Milano (1984);
• M.Klein: Storia del pensiero matematico Einaudi,  Torino, (1991);
• L.L.Radice: La Matematica da Pitagora a Newton. Ed. Riuniti, Roma (1992).